Глоссарий
А
Антидериватива (Antiderivative)
Функция, производная которой равна данной функции. Используется для нахождения неопределённых интегралов. Например, антидериватива функции f(x) = 2x равна F(x) = x² + C, где C — произвольная константа.
В
Верхний предел (Upper Limit)
Верхняя граница интервала, на котором вычисляется определённый интеграл. Например, в интеграле ∫[a, b] f(x) dx, b является верхним пределом.
Г
График функции (Function Graph)
Графическое представление зависимости между переменными. Используется для визуализации подынтегральной функции.
Д
Дифференцируемость (Differentiability)
Свойство функции иметь производную в каждой точке области. Необходимое условие для применения многих методов интегрирования.
Е
Единичная функция (Unit Function)
Функция, равная 1 на всём определённом интервале. Часто используется при определении простых интегралов.
И
Интеграл (Integral)
Математическая операция, обратная дифференцированию, используемая для нахождения площади под кривой. Интегралы бывают определёнными (с границами) и неопределёнными (без границ).
Интегрирование по частям (Integration by Parts)
Метод вычисления интегралов, основанный на формуле: ∫u dv = uv - ∫v du. Полезен для интегрирования произведений функций, таких как x · ex или ln(x).
Интеграл Римана (Riemann Integral)
Определение интеграла через сумму Римана, основанное на разбиении интервала на подотрезки. Используется для вычисления площади под графиком функции.
Интеграл Лебега (Lebesgue Integral)
Обобщение интеграла Римана, позволяющее интегрировать более широкий класс функций, включая разрывные.
К
Кривая (Curve)
Непрерывная линия, отображающая зависимость между переменными. Площадь под кривой часто вычисляется с помощью интегралов.
Л
Линейность интеграла (Linearity of Integral)
Свойство, позволяющее выносить константы за знак интеграла и складывать/вычитать интегралы функций: ∫(af + bg)dx = a∫f dx + b∫g dx.
М
Мера множества (Measure)
Обобщение длины, площади и объема, используемое в теории интеграла Лебега для описания «размера» множества.
Н
Неопределённый интеграл (Indefinite Integral)
Интеграл, представляющий собой семейство первообразных функции. Например, неопределённый интеграл функции f(x) = 3x² равен F(x) = x³ + C.
Нижний предел (Lower Limit)
Нижняя граница интервала, на котором вычисляется определённый интеграл. Например, в интеграле ∫[a, b] f(x) dx, a является нижним пределом.
О
Определённый интеграл (Definite Integral)
Интеграл, вычисляемый на конечном интервале, обозначаемый ∫[a, b] f(x) dx, представляет собой площадь под графиком функции между точками a и b.
Обратный интеграл (Inverse Integral)
Интеграл, используемый для нахождения обратной функции. Применим в случаях, когда требуется восстановить функцию по её первообразной.
П
Площадь под кривой (Area Under the Curve)
Результат вычисления определённого интеграла, представляющий собой площадь между графиком функции и осью x.
Предел суммы (Limit of Sum)
Метод нахождения интеграла через предел суммы разбиений интервала, лежащий в основе определения интеграла Римана.
Р
Разбиение (Partition)
Деление отрезка на подотрезки при построении сумм Римана для определения интеграла.
С
Собственный интеграл (Proper Integral)
Интеграл, вычисляемый на конечном интервале с непрерывной функцией без особенностей внутри интервала интегрирования.
Сингулярный интеграл (Singular Integral)
Интеграл, содержащий особенности (например, разрывы или асимптоты), требующий специальных методов вычисления.
Т
Точка разрыва (Discontinuity)
Точка, в которой функция не является непрерывной. Может влиять на существование определённого интеграла.
У
Условная сходимость (Conditional Convergence)
Свойство несобственного интеграла сходиться при определённых условиях, несмотря на расходимость отдельных частей.
Ч
Численное интегрирование (Numerical Integration)
Методы приближённого вычисления интегралов, такие как метод трапеций или метод Симпсона, применяются, когда аналитическое решение невозможно.
Частичное интегрирование (Partial Integration)
Метод, схожий с интегрированием по частям, используется, когда интегрируется лишь часть функции или её состава.
Э
Экстремум функции (Extremum)
Максимальное или минимальное значение функции на определённом интервале. Иногда используется в задачах на оптимизацию с применением интегралов.