Интегралы

Интеграл

— это сумма бесконечно малых величин. Он используется для вычисления площадей, длин, объемов и других величин.

∫ f(x) dx

∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx

∫ dx = x + C

Функция Интеграл
∫ xn dx 1/(n+1) * xn+1 + C
∫ ex dx ex + C
∫ sin(x) dx -cos(x) + C
∫ cos(x) dx sin(x) + C

Найти неопределенный интеграл:

∫ (3x² - 2x + 4) dx

Понятие неопределённого интеграла тесно связано с понятием первообразной, когда по известному результату дифференцирования нужно восстановить искомую функцию.

Определение

Функция \( F(x) \), где \( x \in X \subseteq \mathbb{R} \), называется первообразной для функции \( f(x) \) на множестве \( X \), если она дифференцируема для любого \( x \in X \) и выполняется равенство:

\( F'(x) = f(x) \)

Основная теорема интегрирования

Если на промежутке \( X \) функция \( F(x) \) является первообразной для функции \( f(x) \), то функция \( F(x) + C \), где \( C \) – константа, также будет первообразной для \( f(x) \).

Обозначение неопределённого интеграла

Множество всех первообразных функции \( f(x) \) на множестве \( X \) называется неопределённым интегралом и обозначается:

\( \int f(x)dx = F(x) + C \)

Элементы интеграла:

  • \(\int\) – знак интеграла
  • \(f(x)\) – подынтегральная функция
  • \(dx\) – переменная интегрирования
  • \(C\) – постоянная интегрирования

Процесс интегрирования

Операция нахождения первообразной для функции \( f(x) \) называется интегрированием.